主成分分析（PCA）とは｜手順・寄与率・負荷量の読み方をPythonで実演

主成分分析は「そろえる → 関係を表にする → 軸を求める → 何本使うか決める → 新しい軸で表す」の順に進みます。この記事では、10人の5科目のテストの点を例に、全部の手順を実際に計算します。

flowchart TD
    A[元のデータ<br>10人 × 5科目] --> B[標準化<br>平均0・標準偏差1]
    B --> C[相関行列<br>5 × 5]
    C --> D[固有値分解<br>固有値と固有ベクトル]
    D --> E[寄与率を見て<br>主成分の数を決める]
    E --> F[主成分得点<br>10人 × 2]

急いでいる人向けに、よく調べられることの答えを先にまとめます。

確認環境：Ubuntu 24.04・Python 3.11.15・NumPy 2.4.6・scikit-learn 1.9.1（UMAP の実行のみ umap-learn 0.5.12・scikit-learn 1.8.0・NumPy 2.4.4）。10人×5科目のデータで、標準化から主成分得点までを NumPy で手順どおりに計算し、scikit-learn の PCA と一致することを確かめました。標準化の有無、外れ値、主成分の数の決め方（平行分析は乱数5000回）、因子分析・t-SNE・UMAP との比較（手書き数字 1797件×64次元）も実行し、出力をそのまま載せています。関数の仕様は scikit-learn 1.9.1・umap-learn の公式ドキュメント、R の prcomp のマニュアル、IBM SPSS Statistics の FACTOR コマンドのリファレンスで、歴史は Wikipedia「主成分分析」で確かめました（確認日 2026年10月22日）。

主成分分析（PCA）とは（考え方を図で）

この節では、主成分分析が「何を、どうまとめているのか」が分かります。

主成分分析（しゅせいぶんぶんせき、英語 Principal Component Analysis、略して PCA）は、たくさんの変数を、それらを組み合わせた少数の新しい変数（主成分）に置きかえて、データを要約する方法です。 変数の数を減らすので、次元削減（じげんさくげん）の代表的な方法として使われます。

この記事では、次の10人の5科目のテストの点（100点満点）を例に使います。

5科目を並べただけでは、10人の違いをひと目でつかめません。主成分分析をすると、5つの点数が次の2つの軸にまとまりました（計算の中身は後の節で全部見せます）。

flowchart TD
    IN[国語・社会・英語・数学・理科<br>5つの点数] --> P1[第1主成分<br>総合力 62.2%]
    IN --> P2[第2主成分<br>理系か文系か 22.5%]
    P1 --> OUT[2本の軸で<br>情報の84.7%]
    P2 --> OUT

• 第1主成分：5科目すべてに同じ向きの重みがかかった軸で、「総合力」と読めます。5科目の情報（分散）の62.2%を持っています。
• 第2主成分：数学・理科がプラス、国語・社会がマイナスの軸で、「理系寄りか文系寄りか」と読めます。情報の22.5%を持っています。

2つの軸だけで、5科目の情報の84.7%を表せました。5次元のデータを2次元に減らしても、情報の8割以上が残ったことになります。

「分散が最大になる向き」とは

主成分分析の軸は、データを投影（まっすぐ下ろす）したときに、点のばらつき（分散）がいちばん大きくなる向きに取ります。ばらつきが大きい向きほど、人と人の違いがよく表れるためです。

• 第1主成分：分散が最大になる向き。
• 第2主成分：第1主成分と直交する（直角に交わる）向きの中で、分散が最大になる向き。
• 第3主成分以降も同じで、変数の数だけ主成分が取れます。

主成分どうしは直交しているので、主成分得点どうしの相関は0になります（後の計算でも 0 になりました）。同じ情報を二重に数えない軸の組み、ということです。

主成分分析が使われる場面

Wikipedia によると、主成分分析は1901年にピアソンが導入し、1930年代にホテリングが独立に導入して「主成分分析」と名付けました。分野によって、カルーネン・レーベ変換（KL 変換）、ホテリング変換、固有直交分解（POD）とも呼ばれます。

主成分分析でわかること（固有値・寄与率・主成分負荷量・主成分得点）

この節では、主成分分析の結果に出てくる言葉の意味と、それぞれが何を答えてくれるのかが分かります。

主成分分析の結果は「固有値・寄与率」「固有ベクトル・主成分負荷量」「主成分得点」の3組で読みます。 それぞれ「その軸はどれくらい大事か」「その軸は何を表すか」「各データはその軸のどこにいるか」に答えます。

固有ベクトルと主成分負荷量は似ていますが、別のものです。主成分負荷量 ＝ 固有ベクトル × √固有値 の関係があり、負荷量は −1〜1 の相関係数として読めるので、軸の意味を考えるときは負荷量を使うのが一般的です。ライブラリによっては固有ベクトルを「loadings」と呼ぶことがあるので、どちらが出ているかを確かめます。

主成分分析の手順（標準化→共分散行列→固有値分解→主成分得点）

この節では、主成分分析の計算を4つの手順に分けて、それぞれ何をしているのかが分かります。

式を文字で書くと次のとおりです（n はデータの数、p は変数の数）。

① 標準化        zij = ( xij − 変数jの平均 ) ÷ 変数jの標準偏差
② 相関行列      R = Zᵀ Z ÷ (n − 1)          … p × p の行列
③ 固有値分解    R vk = λk vk                  … λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λp
                寄与率k = λk ÷ (λ1 + … + λp)  … 標準化した場合、合計は p
④ 主成分得点    tik = zi1·v1k + zi2·v2k + … + zip·vpk
   主成分負荷量  ljk = vjk × √λk

「なぜ固有ベクトルが分散最大の向きなのか」を一言でいうと、向き v（長さ1）に投影した得点の分散は vᵀ R v で、これを最大にする v が R の最大の固有値の固有ベクトル、最大値がその固有値になるためです。だから「固有値 ＝ その主成分得点の分散」になります。

2変数で手計算する（数学と理科）

この節では、変数が2つのときの主成分分析を、手で最後まで計算する方法が分かります。

変数が2つで標準化した場合、相関係数を r とすると、固有値は 1 + r と 1 − r、固有ベクトルは (1/√2, 1/√2) と (1/√2, −1/√2) になります。 10人の数学と理科で確かめます。

NumPy で同じ計算をすると、手計算と同じ値になりました。

Σ偏差積 679.6  Sm 1168.9  Ss 834.4  r 0.688141172608958
固有値 [1.68814117 0.31185883]
固有ベクトル [[ 0.70710678 -0.70710678]
             [ 0.70710678  0.70710678]]
B さんの z [1.41272767 1.39167846]  第1主成分得点 1.9830145916574011  得点の分散 1.6881411726089581

第1主成分は「数学と理科を同じ重みで足した値」、第2主成分は「数学と理科の差」です。 得点の分散 1.6881 が固有値と一致していることも確かめられます。相関が強いほど（r が1に近いほど）第1主成分の寄与率が上がり、2つの変数を1本にまとめやすくなります。

5科目のデータで主成分分析をNumPyで計算する

この節では、5変数の主成分分析を、前の4つの手順どおりに NumPy で計算したコードと、その全出力が分かります。

変数が3つ以上になると、固有値を手で解くのは大変なので、固有値分解だけを np.linalg.eigh（対称行列用）に任せます。それ以外は手順どおりです。

import numpy as np

cols = ["国語", "社会", "英語", "数学", "理科"]
X = np.array([
    [62, 61, 67, 70, 51], [57, 62, 64, 77, 75], [72, 63, 64, 68, 61],
    [54, 50, 45, 42, 44], [65, 67, 68, 63, 67], [60, 60, 60, 74, 75],
    [57, 54, 58, 51, 58], [62, 68, 65, 59, 63], [67, 67, 62, 52, 59],
    [62, 64, 65, 53, 63],
], dtype=float)
n, p = X.shape

# ① 標準化（標準偏差は n-1 で割る不偏標準偏差）
mean, sd = X.mean(axis=0), X.std(axis=0, ddof=1)
Z = (X - mean) / sd

# ② 共分散行列（標準化したので相関行列と同じ）
R = Z.T @ Z / (n - 1)

# ③ 固有値分解して、固有値の大きい順に並べる
lam, V = np.linalg.eigh(R)
idx = lam.argsort()[::-1]
lam, V = lam[idx], V[:, idx]
V = V * np.sign(V.sum(axis=0))          # 符号をそろえる（各列の合計を正に）
ratio = lam / lam.sum()                  # 寄与率

# ④ 主成分得点と主成分負荷量
T = Z @ V                                # 主成分得点
L = V * np.sqrt(lam)                     # 主成分負荷量

実行した結果です。

平均       [61.8 61.6 61.8 60.9 61.6]
標準偏差   [ 5.287  5.797  6.63  11.396  9.629]
相関行列 R =
 [[1.    0.686 0.595 0.234 0.136]
 [0.686 1.    0.839 0.364 0.495]
 [0.595 0.839 1.    0.603 0.523]
 [0.234 0.364 0.603 1.    0.688]
 [0.136 0.495 0.523 0.688 1.   ]]
np.corrcoef と一致: True
固有値 λ   [3.108 1.126 0.402 0.281 0.083]  合計 5.0
寄与率     [62.2 22.5  8.   5.6  1.7]
累積寄与率 [ 62.2  84.7  92.7  98.3 100. ]
固有ベクトル（列が第1〜第5主成分）
 [[ 0.381 -0.59   0.406  0.558 -0.173]
 [ 0.498 -0.3   -0.467 -0.114  0.656]
 [ 0.523 -0.102 -0.026 -0.623 -0.571]
 [ 0.41   0.508  0.653 -0.104  0.368]
 [ 0.405  0.542 -0.435  0.525 -0.279]]
V^T V = I: True
R v1 = λ1 v1: True
得点の分散 [3.108 1.126 0.402 0.281 0.083]  得点どうしの相関(PC1,PC2) -0.0
負荷量 = 変数と得点の相関: True
PC1の負荷量の二乗和 = 3.1083

出力から、手順の式が成り立っていることを5つ確かめられます。

• 標準化した後の共分散行列は相関行列と同じ（np.corrcoef と一致: True）。
• 固有値の合計は変数の数と同じ 5.0。標準化すると各変数の分散が1になり、全体の分散が5になるためです。
• 固有ベクトルは互いに直交し長さ1（VᵀV = I）、R v1 = λ1 v1 を満たす。
• 主成分得点の分散は固有値と同じで、第1・第2主成分得点の相関は0。
• 主成分負荷量は、変数と主成分得点の相関係数と同じ。第1主成分の負荷量の二乗和は固有値 3.108 と同じ。

主成分得点の計算も、A さんで手で確かめました。A さんの標準化した点（z）に、第1主成分の固有ベクトルを掛けて足します。

A さんの z  = [ 0.038 -0.103  0.784  0.798 -1.101]
v1         = [ 0.381  0.498  0.523  0.410  0.405]
得点 = 0.038×0.381 + (−0.103)×0.498 + 0.784×0.523 + 0.798×0.410 + (−1.101)×0.405
     = 0.2551

行列の作り方や @（行列の積）の書き方は、関連記事「NumPyの使い方 基本一覧｜配列の作成・演算・形状変更」で扱っています。

寄与率・累積寄与率・主成分負荷量の読み方

この節では、主成分分析の出力から「何本使うか」「各主成分は何を表すか」「誰がどこにいるか」を読み取る方法が分かります。

寄与率と累積寄与率

寄与率は「その主成分1本で、元のデータの情報（分散）の何%を表せるか」、累積寄与率は「第1主成分から何本か使ったとき、合わせて何%を表せるか」です。 5科目の例では、第1主成分で62.2%、第2主成分までで84.7%、第3主成分までで92.7%でした。

主成分負荷量で、主成分に名前を付ける

主成分そのものには名前が付いていません。負荷量の大きさと符号のパターンを見て、人が意味を読み取ります。

• 第1主成分は、5科目すべてが 0.67〜0.92 のプラスなので、「どの科目も高い人ほど得点が高い」軸、つまり総合力と読めます。
• 第2主成分は、数学・理科がプラス、国語・社会がマイナスなので、「理系科目が文系科目より得意な人ほど得点が高い」軸と読めます。英語は −0.109 で、どちらにもあまり寄っていません。
• 共通性は5科目とも 0.81〜0.87 で、2本の主成分で各科目のばらつきの8割以上を表せています。

負荷量の点を図にすると、文系3科目と理系2科目が上下に分かれる様子が分かります（横が第1主成分、縦が第2主成分の負荷量。図の座標は 0.5 + 負荷量 ÷ 2 に置きかえています）。

---
config:
  quadrantChart:
    chartWidth: 460
    chartHeight: 380
---
quadrantChart
    title 主成分負荷量（横 第1主成分・縦 第2主成分）
    x-axis 負荷量 マイナス --> 負荷量 プラス
    y-axis 文系寄り --> 理系寄り
    quadrant-1 総合 プラス・理系寄り
    quadrant-2 総合 マイナス・理系寄り
    quadrant-3 総合 マイナス・文系寄り
    quadrant-4 総合 プラス・文系寄り
    国語: [0.836, 0.187]
    社会: [0.939, 0.341]
    英語: [0.962, 0.446]
    数学: [0.862, 0.770]
    理科: [0.857, 0.788]

主成分得点で、各データの位置を見る

10人の第1・第2主成分得点です。

得点を散布図にしたのが次の図です（スコアプロット。図の座標は、横 0.5 + 得点 ÷ 9、縦 0.5 + 得点 ÷ 4.5 に置きかえています。中央の線が得点0）。

---
config:
  quadrantChart:
    chartWidth: 460
    chartHeight: 380
---
quadrantChart
    title 主成分得点（10人）
    x-axis 総合力 低い --> 総合力 高い
    y-axis 文系寄り --> 理系寄り
    quadrant-1 総合力が高く理系寄り
    quadrant-2 総合力が低く理系寄り
    quadrant-3 総合力が低く文系寄り
    quadrant-4 総合力が高く文系寄り
    A: [0.528, 0.442]
    B: [0.612, 0.934]
    C: [0.640, 0.286]
    D: [0.021, 0.477]
    E: [0.665, 0.426]
    F: [0.570, 0.866]
    G: [0.299, 0.576]
    H: [0.590, 0.409]
    I: [0.547, 0.188]
    J: [0.528, 0.396]

B と F は右上（総合力が高く理系寄り）、I と C は右下（総合力が高く文系寄り）、D は左端に離れています。 5科目の表からは読み取りにくかった「タイプ」と「外れたデータ」が、2次元の図で見えるようになりました。得点と負荷量の矢印を1枚に重ねた図をバイプロットと呼びます。

得点は平均が0になるので、「0より大きい ＝ 10人の平均より上」 という相対的な位置です。100点満点のような絶対的な意味はありません。

scikit-learnの結果と手計算が一致するか確かめる

この節では、scikit-learn の PCA が手計算と同じものを計算していること、そして数値が少しずれて見える2つの理由が分かります。

from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

pipe = make_pipeline(StandardScaler(), PCA())
T_s = pipe.fit_transform(X)                 # 主成分得点
pca = pipe.named_steps["pca"]
print(pca.explained_variance_)              # 固有値
print(pca.explained_variance_ratio_)        # 寄与率
print(pca.components_)                      # 固有ベクトル（行が主成分）

scikit-learn 1.9.1 numpy 2.4.6
explained_variance_       [3.4537 1.2506 0.4471 0.3119 0.0922]
explained_variance_ratio_ [0.6217 0.2251 0.0805 0.0561 0.0166]
components_[0] [0.3813 0.4983 0.5235 0.4102 0.405 ]  components_[1] [ 0.5899  0.2996  0.1025 -0.5083 -0.5416]
手計算との符号 [ 1. -1.  1. -1.  1.]
寄与率が一致        : True
固有ベクトルが一致(符号をそろえて): True
固有値の比 sklearn/手計算: [1.1111 1.1111 1.1111 1.1111 1.1111]  n/(n-1) = 1.111111
得点の比  sklearn/手計算: [1.0541 1.0541]  sqrt(n/(n-1)) = 1.054093
StandardScaler の scale_: [ 5.016   5.4991  6.2897 10.8116  9.1345] (ddof=0)
ddof=0で標準化した手計算と比べた最大差: 固有値 1.3322676295501878e-15  得点 2.6645352591003757e-15
SVD: s**2/(n-1) = [3.4537 1.2506 0.4471 0.3119 0.0922]  singular_values_ = [5.5752 3.355  2.006  1.6754 0.9109]

寄与率と固有ベクトルの向きは、手計算と完全に一致しました。 ずれて見えたのは次の2つで、どちらも計算の誤りではありません。

標準化を n で割る形（ddof=0）に変えて手計算すると、固有値も得点も差が 1e-15 程度（計算機の丸め誤差）まで一致しました。scikit-learn 1.9.1 のドキュメントは、explained_variance_ は「n_samples − 1 の自由度」を使う、と書いています。固有値1以上で主成分の数を決めるときに explained_variance_ をそのまま見ると、データが少ないほど大きめに出るので注意します。

singular_values_（特異値）の二乗を n − 1 で割ると、explained_variance_ と同じになりました。主成分分析は、相関行列の固有値分解の代わりに、データ行列の特異値分解（SVD）でも計算できます。scikit-learn 1.9.1 の svd_solver='auto' は、ドキュメントによると「変数が1000未満で、データ数が変数の10倍より多い」と covariance_eigh（共分散行列の固有値分解）、500×500 より大きく取り出す数が少ないと randomized、それ以外は full（SVD）を選びます。この例（10件×5変数）は full が選ばれていました。

標準化しないと結果が変わる（共分散行列と相関行列）

この節では、標準化（相関行列）と、標準化なし（共分散行列）で主成分分析の結果がどれくらい変わるかが、実測で分かります。

主成分分析は分散の大きい向きを探すので、標準化しないと、ばらつきの大きい変数に第1主成分が引っぱられます。 5科目の分散は、国語 28.0・社会 33.6・英語 44.0・数学 129.9・理科 92.7 で、数学と理科だけで全体の 328.1 の約7割を占めています。

from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

PCA().fit(X - X.mean(axis=0))                       # 標準化なし（共分散行列）
PCA().fit(StandardScaler().fit_transform(X))        # 標準化あり（相関行列）
X2 = X.copy(); X2[:, 3] *= 2                        # 数学を200点満点に換算

[標準化なし（共分散行列）] 寄与率 [67.9 17.  10.8  3.2  1.1]  PC1 [0.134 0.244 0.343 0.704 0.556]  PC2 [ 0.541  0.552  0.478 -0.358 -0.214]
[標準化あり（相関行列）  ] 寄与率 [62.2 22.5  8.   5.6  1.7]  PC1 [0.381 0.498 0.523 0.41  0.405]  PC2 [-0.59  -0.3   -0.102  0.508  0.542]
--- 数学を200点満点に換算（×2）
[標準化なし（共分散行列）] 寄与率 [82.7  9.3  6.1  1.5  0.5]  PC1 [0.061 0.107 0.181 0.929 0.299]  PC2 [ 0.441  0.602  0.515 -0.296  0.302]
[標準化あり（相関行列）  ] 寄与率 [62.2 22.5  8.   5.6  1.7]  PC1 [0.381 0.498 0.523 0.41  0.405]  PC2 [-0.59  -0.3   -0.102  0.508  0.542]

標準化なしでは、第1主成分の重みが数学 0.704・理科 0.556 に偏り、国語は 0.134 しかありませんでした。 「総合力」ではなく「理系科目の点」に近い軸です。さらに数学を200点満点に換算しただけで、数学の重みは 0.929 になりました。標準化した結果は、換算の前後で同じでした。

ツールの初期設定はまちまちです。 R の prcomp の初期値は center = TRUE, scale. = FALSE（中心化だけで標準化しない）で、マニュアルは一般には標準化が望ましいと書いています。scikit-learn の PCA も中心化だけなので、標準化するなら StandardScaler を前に置きます。

主成分の数の決め方（累積寄与率・固有値1以上・スクリープロット・平行分析）

この節では、主成分を何本使うかを決める4つの基準と、それぞれで結果が違ったときの考え方が分かります。

よく使う基準は「累積寄与率が70〜80%に届くまで」「固有値1以上（カイザー基準）」「スクリープロットの肘」「平行分析」の4つです。 どれも目安で、決まった正解はありません。

---
config:
  xyChart:
    width: 480
    height: 300
---
xychart-beta
    title "固有値（棒）・1の線・乱数の95%点（線）"
    x-axis "主成分" [PC1, PC2, PC3, PC4, PC5]
    y-axis "固有値" 0 --> 3.5
    bar [3.108, 1.126, 0.402, 0.281, 0.083]
    line [1, 1, 1, 1, 1]
    line [2.542, 1.652, 1.139, 0.773, 0.421]

固有値を大きい順に並べた図をスクリープロットと呼びます。5科目では、PC1 から PC2 で大きく下がり、PC3 以降はなだらかです。下がり方が急に緩くなる点（肘）の手前までを使う、というのがスクリープロットの読み方です。

平行分析は、同じ大きさ（10件×5変数）の乱数データで主成分分析を何度も行い、乱数でも出てしまう固有値より大きいものだけを残す方法です。乱数で5000回計算しました。

rng = np.random.default_rng(0)
sims = np.array([np.sort(np.linalg.eigvalsh(np.corrcoef(rng.normal(size=(n, p)), rowvar=False)))[::-1]
                 for _ in range(5000)])
np.percentile(sims, 95, axis=0)     # 乱数の固有値の95%点

実データの固有値     [3.108 1.126 0.402 0.281 0.083]
乱数の固有値 平均    [2.02  1.356 0.897 0.513 0.214]
乱数の固有値 95%点   [2.542 1.652 1.139 0.773 0.421]
平行分析で残す数: 1
カイザー基準(λ≥1)で残す数: 2
累積70%/80%に届く数: 2 2

データが10件と少ないので、乱数でも第1固有値の平均が 2.02 になりました。 第2主成分の 1.126 は乱数の平均 1.356 より小さく、「偶然でも出る程度」とも言えます。件数が少ないときは、第2主成分以降の解釈を控えめにします。

scikit-learn では、n_components に 0〜1 の小数を入れると、累積寄与率がその値を超える最小の本数を自動で選びます（svd_solver='full' のとき）。

n_components=2: n_components_=2  累積=0.8468
n_components=0.8: n_components_=2  累積=0.8468
n_components=0.9: n_components_=3  累積=0.9273
n_components='mle': n_components_ = 1

'mle' は、ドキュメントによると Minka の方法で次元を推定する指定で、この例では1本になりました。

Pythonで主成分分析をする（コピペで使える完成版）

この節では、CSV を読んで、寄与率・負荷量・得点を表で出す完成版のスクリプトと、機械学習の前処理に使う書き方が分かります。

CSV から結果の表を出すスクリプト

1列目が名前、2列目以降が数値の CSV を読みます。使うライブラリは NumPy と scikit-learn だけです。

"""CSV（1列目が名前、2列目以降が数値）を主成分分析して、結果を表で出す。
使い方: python pca_report.py scores.csv [累積寄与率のしきい値 0〜1]"""
import csv, sys
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

path = sys.argv[1]
threshold = float(sys.argv[2]) if len(sys.argv) > 2 else 0.8
with open(path, encoding="utf-8") as f:
    rows = list(csv.reader(f))
cols = rows[0][1:]
names = [r[0] for r in rows[1:]]
X = np.array([[float(v) for v in r[1:]] for r in rows[1:]])

Z = StandardScaler().fit_transform(X)      # 標準化（平均0・標準偏差1。分母は n）
pca = PCA().fit(Z)
ratio = pca.explained_variance_ratio_
k = int(np.argmax(ratio.cumsum() >= threshold)) + 1   # しきい値に届く主成分の数

# 符号をそろえる（各主成分で、負荷量の合計が正になる向き）
sign = np.sign(pca.components_.sum(axis=1)); sign[sign == 0] = 1
V = pca.components_.T * sign                   # 列が主成分（固有ベクトル）
lam = ratio * len(cols)                        # 相関行列の固有値（合計＝変数の数）
L = V * np.sqrt(lam)                           # 主成分負荷量（変数と得点の相関）
T = Z @ V                                      # 主成分得点

print(f"{'':6}" + "".join(f"{'PC'+str(i+1):>8}" for i in range(len(cols))))
print(f"{'固有値':5}" + "".join(f"{v:8.3f}" for v in lam))
print(f"{'寄与率':5}" + "".join(f"{v:8.1%}" for v in ratio))
print(f"{'累積':6}" + "".join(f"{v:8.1%}" for v in ratio.cumsum()))
print(f"\n累積寄与率 {threshold:.0%} 以上になる主成分の数: {k}（固有値1以上: {(lam >= 1).sum()}）")
print("\n主成分負荷量")
for c, l in zip(cols, L[:, :k]):
    print(f"  {c:4}" + "".join(f"{v:8.3f}" for v in l))
print("\n主成分得点（PC1 の高い順）")
for i in np.argsort(-T[:, 0]):
    print(f"  {names[i]:4}" + "".join(f"{v:8.3f}" for v in T[i, :k]))

scores.csv は、先頭行が 生徒,国語,社会,英語,数学,理科、2行目以降が A,62,61,67,70,51 のような形です。python pca_report.py scores.csv 0.8 の出力です。

           PC1     PC2     PC3     PC4     PC5
固有値     3.108   1.126   0.402   0.281   0.083
寄与率     62.2%   22.5%    8.0%    5.6%    1.7%
累積       62.2%   84.7%   92.7%   98.3%  100.0%

累積寄与率 80% 以上になる主成分の数: 2（固有値1以上: 2）

主成分負荷量
  国語     0.672  -0.626
  社会     0.878  -0.318
  英語     0.923  -0.109
  数学     0.723   0.539
  理科     0.714   0.575

主成分得点（PC1 の高い順）
  E      1.568  -0.353
  C      1.328  -1.014
  B      1.059   2.058
  H      0.851  -0.431
  F      0.660   1.739
  I      0.448  -1.482
  A      0.269  -0.276
  J      0.261  -0.495
  G     -1.905   0.362
  D     -4.540  -0.109

固有値は寄与率 × 変数の数で出しているので、手計算と同じ 3.108 になります。得点は StandardScaler（n で割る標準化）を使っているため、手計算の値の 1.054 倍です（前の節の理由）。並び順や符号の読み方は変わりません。CSV を pandas で読み込む方法は、関連記事「pandasの使い方 逆引き81選｜pandas 3.0の実行結果つき」で扱っています。ブラウザで試すなら、関連記事「Google Colabとは｜使い方・GPU・料金・制限とエラーの直し方」で扱っています。

2本の主成分から元のデータを復元する

inverse_transform で、2本の主成分から元の5科目の点を戻せます。戻した値と元の値の差が、2本に入りきらなかった情報です。

p2 = make_pipeline(StandardScaler(), PCA(n_components=2)).fit(X)
Xr = p2.inverse_transform(p2.transform(X))

2成分で復元したAさん: [63.1 62.8 62.9 60.6 61.2]  元: [62. 61. 67. 70. 51.]
復元誤差(RMSE, 点): [1.98 1.96 2.32 4.66 3.65]

A さんは「英語と数学が高く、理科だけ低い」という2本の軸では表せない形なので、復元すると平均に近い値になりました。 科目ごとの誤差は国語・社会が約2点、数学が4.66点でした。この「復元できない残り」が大きいデータを探すと、主成分分析を異常検知に使えます。

機械学習の前処理に使う（Pipeline）

scikit-learn に入っている手書き数字のデータ（1797件×64画素）で、標準化 → PCA → ロジスティック回帰をつなぎました。

from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

X, y = load_digits(return_X_y=True)
Xtr, Xte, ytr, yte = train_test_split(X, y, test_size=0.25, random_state=0, stratify=y)
pipe = make_pipeline(StandardScaler(), PCA(n_components=0.95), LogisticRegression(max_iter=5000))
pipe.fit(Xtr, ytr)          # 標準化も PCA も学習データだけで fit される
pipe.score(Xte, yte)

PCAなし(64次元)    次元 64  テスト正解率 0.9689  学習 0.03秒
PCA 累積95%      次元 39  テスト正解率 0.9689  学習 0.05秒
PCA 10成分       次元 10  テスト正解率 0.8667  学習 0.08秒

累積95%の39次元では正解率が変わらず、10次元まで減らすと 0.9689 → 0.8667 に下がりました。 主成分分析は正解ラベルを見ずに軸を作るので、分散の小さい方向に分類に必要な情報があると、減らしすぎで失われます。本数は、検証データでの性能を見て決めます。

Pipeline に入れると、fit は学習データだけで標準化と主成分を決め、テストデータは transform だけを通ります。テストデータも含めて先に標準化や PCA をすると、テストの情報が学習に混ざります。

主成分分析のメリット・デメリット（注意点）

この節では、主成分分析の長所と弱点、そして外れ値1つで結果がどれくらい変わるかが分かります。

外れ値1つで主成分が変わる

E さんの数学 63 点を、6 点と打ち間違えた場合を計算しました。

[元のデータ]           寄与率 [62.2 22.5  8. ] PC1 [0.381 0.498 0.523 0.41  0.405] PC2 [-0.59  -0.3   -0.102  0.508  0.542]
[Eの数学を6と打ち間違い] 寄与率 [53.9 23.2 14.6] PC1 [0.459 0.574 0.562 0.018 0.379] PC2 [-0.309 -0.123  0.024  0.808  0.485]

1つの打ち間違いで、第1主成分の数学の重みが 0.41 から 0.018 になり、「総合力」の軸から数学が抜け落ちました。 主成分分析は分散（二乗した距離）を使うので、遠く離れた1点の影響を強く受けます。分析の前に、各変数の最小値・最大値と散布図で外れ値を確かめます。

計算の量

主成分分析の計算は、データが n 件・変数が p 個のとき、相関行列（p×p）の固有値分解か、データ行列の SVD です。手書き数字（1797件×64変数）の2成分の計算は 0.0035秒でした。変数がとても多い（画像の全画素、文章の単語数など）ときは、scikit-learn の randomized（乱択 SVD）、IncrementalPCA（少しずつ読み込む）、TruncatedSVD（疎行列）が使えます。

因子分析・t-SNE・UMAPとの違い

この節では、主成分分析とよく比べられる3つの方法の違いが、事実の表と実測で分かります。

因子分析との違い（5科目で比べる）

主成分分析は「データを要約する軸」を作り、因子分析は「点数の背後にある、目に見えない能力（因子）」を推定します。 scikit-learn のドキュメントは、因子分析のモデルで、変数ごとの誤差の分散をすべて同じと仮定すると（確率的な）主成分分析になる、と説明しています。

同じ5科目で、因子分析（2因子・varimax 回転）を実行しました。

from sklearn.decomposition import FactorAnalysis
fa = FactorAnalysis(n_components=2, rotation="varimax", random_state=0).fit(Z)

因子分析(varimax) 負荷量
  国語 [0.702 0.085]  独自分散 0.5
  社会 [0.948 0.204]  独自分散 0.061
  英語 [0.78  0.479]  独自分散 0.161
  数学 [0.189 0.932]  独自分散 0.099
  理科 [0.346 0.657]  独自分散 0.449

主成分分析は「総合力」と「理系か文系か」、因子分析（回転あり）は「文系の力」と「理系の力」という分け方になりました。 因子分析には、どの因子でも説明できない「独自分散」（国語は 0.5）が科目ごとに出ます。データを短くまとめたいなら主成分分析、アンケートやテストの背後の要因を探したいなら因子分析、が一般的な使い分けです。IBM SPSS Statistics では、主成分分析は因子分析と同じ FACTOR コマンドで行い、抽出法の既定値が主成分（PC）です（SPSS 23 のリファレンス）。

2組の変数の関係を調べる正準相関分析とも名前が似ています。主成分分析は1組の変数の中で軸を作り、正準相関分析は2組の変数（例：テストの点と生活習慣）の間で相関が最大になる組み合わせを探します。

t-SNE・UMAP との違い（手書き数字で比べる）

手書き数字（1797件×64次元）を2次元にして、4つの方法を比べました。trustworthiness は「2次元で近くにある点が、元の64次元でも近いか」（1が最高、近い5点で計算）、5-NN 正解率は「2次元の座標だけで、近い5点の多数決で数字を当てた割合」です。

digits (1797, 64)
累積50%に必要な主成分の数: 5
累積80%に必要な主成分の数: 13
累積90%に必要な主成分の数: 21
累積95%に必要な主成分の数: 29
2成分の累積寄与率: 0.2851
PCA        時間   0.00秒  trustworthiness 0.830  2次元での5-NN正解率 0.603
FA         時間   1.32秒  trustworthiness 0.799  2次元での5-NN正解率 0.441
t-SNE      時間   6.59秒  trustworthiness 0.995  2次元での5-NN正解率 0.976
元の64次元での5-NN正解率 0.963

UMAP は umap-learn 0.5.12（scikit-learn 1.8.0）で、同じデータ・同じ指標で測りました。

UMAP 時間 4.94秒 trustworthiness 0.990 5-NN 0.976
UMAP transform 新データ: (297, 2)

PCA の時間は表示の桁が足りず 0.00秒になったので、別に測り直すと 0.0035秒でした。

2次元の図で数字の種類を分けて見せる力は、t-SNE と UMAP が高く、PCA の2成分は累積寄与率が28.5%しかないため 0.603 にとどまりました。 一方で PCA は計算が千倍以上速く、軸に意味があり、新しいデータにも同じ変換を使えます。t-SNE と UMAP は全データで座標を作った後に5-NN を測っているので、正解率は甘めに出ています。

scikit-learn の TSNE には transform が無く、呼ぶと AttributeError: 'TSNE' object has no attribute 'transform' になりました。UMAP は、学習済みのモデルで新しいデータを transform でき、1500件で学習して残り297件を変換すると (297, 2) の座標が返りました。scikit-learn のドキュメントは、変数がとても多いときは t-SNE の前に PCA などで50次元程度に減らすことを強く勧めています。

文章やコードを数値のベクトルにした埋め込みを2次元で見るときにも、主成分分析がよく使われます。埋め込みとベクトルの考え方は、関連記事「エンベディングとは？ベクトル検索とコサイン類似度を計算例で解説」で扱っています。

主成分分析と最小二乗法（回帰）の違い

この節では、主成分分析の第1主成分と、最小二乗法の回帰直線がどう違うのかが分かります。

最小二乗法は「y の縦のずれ」の二乗和を最小にし、主成分分析の第1主成分は「点から直線への垂直な距離」の二乗和を最小にします。 第1主成分の向きは、分散が最大になる向きであり、同時に垂直な距離の二乗和が最小になる向きでもあるためです。

最小二乗法の記事で使った5点 (1, 2)・(2, 3)・(3, 5)・(4, 4)・(5, 6) に、標準化せずに主成分分析をしました。

PC1の向き [0.7071 0.7071]  傾き 1.0  平均 [3. 4.]
寄与率 [0.95 0.05]

第1主成分は傾き 1.0 で平均の点 (3, 4) を通る直線 y = x + 1 になりました。 最小二乗法の直線は y = 0.9x + 1.3 で、別の直線です。y = x + 1 は、最小二乗法の記事で直交回帰（全最小二乗法）として求めた直線と同じです。

最小二乗法の公式と計算例は、関連記事「最小二乗法とは｜公式・手計算の例とPythonでの求め方を実例で解説」で扱っています。主成分分析は正解ラベルを使わない「教師なし学習」の代表で、教師あり学習のニューラルネットワークとの違いは、関連記事「ニューラルネットワークとは｜仕組み・学習・AttentionをNumPyで実演」で扱っています。

主成分分析のよくある間違いとエラーの直し方

この節では、主成分分析で起こりやすい考え違いと、Python で出るエラーの原文と直し方が分かります。

• 1単位が違う変数を、標準化せずに入れていないか数学を200点満点にしただけで、第1主成分の数学の重みが 0.704 → 0.929 になった
• 2符号の向きで意味を決めつけていないか固有ベクトルは −1 倍しても同じ。scikit-learn では第2・第4主成分の符号が手計算と逆だった
• 3固有ベクトルを負荷量として読んでいないか負荷量 ＝ 固有ベクトル × √固有値。ライブラリの「loadings」がどちらかを確かめる
• 4外れ値・打ち間違いを確かめたか1件の打ち間違いで数学の重みが 0.41 → 0.018 になった
• 5テストデータも含めて fit していないかPipeline に入れて、学習データだけで標準化と主成分を決める
• 6主成分を原因と読んでいないか主成分は相関の要約で、「総合力が点数を決める」という因果は示さない

エラーの原文と直し方

どれも scikit-learn 1.9.1 で実際に出たものです。

欠損値のエラーは、続けて「PCA は NaN で表した欠損値をそのままでは受け付けない。前処理で埋めるか、欠損のある行を除く」という説明と、欠損値の扱い方のページの URL を表示しました。

よくある質問

Q. 主成分分析とは簡単に言うと何ですか？ A. たくさんの変数を、情報（分散）をなるべく残したまま、少ない数の新しい軸にまとめる方法です。5科目の点数なら「総合力」と「理系か文系か」の2本で、情報の84.7%を表せました。

Q. 累積寄与率は何%あればよいですか？ A. 70〜80%がよく使われる目安です。決まった基準ではなく、図にして見るだけなら低くてもよく、機械学習の前処理では90〜95%を使うこともあります。手書き数字（64次元）では、95%に届くのに標準化なしで29本、標準化ありで39本が必要でした。

Q. 「固有値1以上」とはどういう意味ですか？ A. 標準化した場合、元の変数1つの分散が1なので、固有値1以上の主成分は「元の変数1つ分以上の情報を持つ」という意味です。カイザー基準と呼ばれ、標準化しない主成分分析には使えません。

Q. 主成分負荷量と固有ベクトルの違いは？ A. 主成分負荷量 ＝ 固有ベクトル × √固有値 で、変数と主成分得点の相関係数になります。−1〜1 で読めるので、主成分の意味を考えるときは負荷量を見ます。

Q. 主成分分析の前に標準化は必要ですか？ A. 単位やばらつきが違う変数を使うなら必要です。標準化しないと、ばらつきの大きい変数に第1主成分が引っぱられ、単位を変えるだけで結果が変わりました。同じ単位でばらつきの違いに意味があるときは、標準化しないこともあります。

Q. 主成分分析と因子分析の違いは？ A. 主成分分析はデータを要約する軸を作り、因子分析は変数の背後の共通の要因を推定します。5科目では、主成分分析が「総合力・理系か文系か」、因子分析が「文系の力・理系の力」に分かれました。

Q. Pythonで主成分分析をするには？ A. PCA().fit_transform(StandardScaler().fit_transform(X)) で主成分得点、explained_variance_ratio_ で寄与率、components_ で固有ベクトルが得られます。負荷量は components_.T × √固有値 で計算します。

Q. R ではどうしますか？ A. prcomp(x, scale. = TRUE) です。prcomp の初期値は scale. = FALSE（標準化しない）なので、標準化するときは指定します。分散は n − 1 で割り、sdev は主成分の標準偏差、rotation は固有ベクトルの行列です。

Q. SPSS ではどうしますか？ A. IBM SPSS Statistics では、因子分析と同じ FACTOR コマンドで行い、抽出法の既定値が主成分（PC）です。

Q. 主成分得点の符号が、ほかの結果と逆になるのはなぜですか？ A. 固有ベクトルは −1 を掛けても同じ固有ベクトルなので、どちらの向きが出るかはツールや計算方法で変わります。scikit-learn では第2・第4主成分が手計算と逆でした。意味は変わらないので、負荷量の合計が正になる向きなど、自分で決めてそろえます。

Q. データは何件あればよいですか？ A. 決まった件数はありませんが、少ないと固有値が偶然で大きく出ます。10件×5変数の乱数データでも、第1固有値の平均は 2.02 になりました。件数が少ないときは平行分析で確かめ、第2主成分以降の解釈を控えめにします。

Q. カテゴリ（文字）のデータにも使えますか？ A. 主成分分析は数値（量的変数）のための方法です。カテゴリはダミー変数（0と1）にして入れる方法がありますが、カテゴリのデータには多重対応分析など専用の方法もあります。

まとめ

• 主成分分析（PCA）は、多くの変数を、分散が最大になる向きの新しい軸（主成分）にまとめる次元削減の方法。
• 手順は 標準化 → 相関行列 → 固有値分解 → 主成分得点。固有値は主成分得点の分散、寄与率は 固有値 ÷ 固有値の合計。
• 5科目×10人では、第1主成分「総合力」62.2%、第2主成分「理系か文系か」22.5%、2本で84.7%。手計算と scikit-learn の寄与率・固有ベクトルは一致した。
• scikit-learn の固有値は n/(n−1) 倍、符号は逆のことがある。寄与率と負荷量で比べる。
• 標準化しないと、ばらつきの大きい変数に引っぱられ、単位を変えるだけで結果が変わった。
• 主成分の数は、累積寄与率70〜80%・固有値1以上・スクリープロット・平行分析を組み合わせ、解釈できるかで決める。
• 背後の要因を探すなら因子分析、図で集まりを見るなら t-SNE・UMAP。PCA は速く、軸に意味があり、新しいデータにも使える。

参考・出典

確認日はいずれも 2026年10月22日です。

• Wikipedia「主成分分析」：https://ja.wikipedia.org/wiki/主成分分析
• scikit-learn「sklearn.decomposition.PCA」：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.decomposition.PCA.html
• scikit-learn「sklearn.decomposition.FactorAnalysis」：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.decomposition.FactorAnalysis.html
• scikit-learn「sklearn.manifold.TSNE」：https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.manifold.TSNE.html
• umap-learn「Transforming New Data with UMAP」：https://umap-learn.readthedocs.io/en/latest/transform.html
• R Documentation「prcomp: Principal Components Analysis」：https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/prcomp.html
• IBM SPSS Statistics 23「EXTRACTION Subcommand (FACTOR command)」：https://www.ibm.com/docs/en/SSLVMB_23.0.0/spss/base/syn_factor_extraction.html

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